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삼각함수

직각 삼각형은 밑변, 빗변, 높이 세 가지 요소로 이루어져 있다. 이러한 직각 삼각형의 세 개의 변에서 두 개의 변을 골라 비의 값을 정한다고 하면 빗변/높이, 빗변/밑변 등 여러개의 비를 구할 수 있다. 이 중 주로 사용하는 세 가지의 삼각비는 다음과 같다. 이 삼각비를 함수의 개념으로 확장해서 해당 비의 각을 정의역으로 두고 비의 값을 취했을 때 이 값은 항상 [-1, 1] 사이에 대응된다. 정의역의 원소 x 와 공역의 원소 y 에 대한 대응 관계를 y = sin(x) 같은 함수로 나타낼 수 있게 된다. 데카르트 평면의 좌표계에서 만들어지는 평면의 모든 각(360도)을 일반화 시킨 것을 삼각함수라고 한다. 삼각함수를 사용할 때는 직각삼각형에 국한되어서 사용하기 보다는, 평면을 모두 포함하는 단위원을 ..
Graphics/이론 2023. 7. 20. 15:33

픽셀화 ( Rasterization )

무게중심좌표 이전 세 점의 아핀결합에서 사용된 세 스칼라 (s, t, 1 - s - t)는 모두 실수이므로, 이들을 묶어서 하나의 3차원 벡터를 생성할 수 있다. 이렇게 아핀 결합의 스칼라를 묶어 만든 좌표를 무게중심좌표 ( Barycentric Coordinate ) 라고한다. 무게중심좌표는 삼각형에 관련된 정보를 담고 있기에, 삼각형에 관련된 기능을 구현할 때 유용하게 활용된다 .세 점의 아핀 결합이 삼각형이 되려면 모든 스칼라의 값이 [0, 1] 범위 내에 있어야 했다. 무게중심좌표를 구성하는 스칼라 값이 하나라도 [0, 1] 범위를 벗어난다면 아핀 결합으로 생성된 점은 삼각형 외부에 있다고 판단할 수 있다. 이러한 성질을 활용하면 주어진 점이 삼각형 영역의 내부에 있는지 외부에 있는지 판단할 수 ..
Graphics/이론 2022. 12. 28. 20:56

아핀 결합 ( Affine Combination )

아핀 공간 ( Affine Space ) 기존의 벡터 공간은 이동하는 방향과 힘만 알 수 있었다. 즉, 벡터가 어디 위치에 있든 이동하는 방햑과 힘만 같으면 이 벡터들은 다 동일하다고 결정한다. 이 이동하는 방향과 힘에 '위치'라는 정보를 추가한 것이 아핀 공간이다. 아핀 공간에서의 위치 정보는 '점' 이라고 나타낸다. 아핀 공간은 점과 벡터를 구별하기 위해 마지막 요소에 1, 0 으로 구별을 하는데 이는 동차 공간에서 가져온 개념이다. 즉. 아핀 공간은 동차 공간의 완벽한 서브셋이다. 좌표 (x, y)에 위치하는 점 P는 다음과 같이 나타낸다. $$ P = (x, y, 1) $$ 원점에서 좌표 (a, b)를 방향으로 가지는 벡터 V는 다음과 같이 나타낸다. $$ V = (a, b, 0) $$ 이를 조금..
Graphics/이론 2022. 12. 21. 17:10

원근 투영 변환 - 깊이값( Perspective projection transformation - Depth )

3차원 공간에서 다수의 물체를 그릴 때 그리는 순서를 고려하지 않고 그리면 다음과 같이 어떤 오브젝트가 더 앞에 있는지 알 수 없다. 이를 해결하기 위해선, 우리가 깊이 값을 파악하고 앞에 있는 물체를 뒤에 있는 물체가 덮어쓰지 않게 하기 위해 픽셀 별로 깊이 값을 계산해야 한다. 깊이 값 이를 해결하기 위해서는 픽셀별로 앞에 있는지, 뒤에 있는지 순서를 파악하기 위한 정보가 필요하다. 화면으로 쓸 NDC는 2차원이였으므로 z를 통한 판별이 불가능하다, 대신 NDC 공간을 3차원으로 확장해보자 이러한 깊이를 지정할 때 필요한 것이 절두체 (Frustum) 인데 투영 공간과 카메라의 화각 등을 생각해보면 무한대에서 무한대로 진행되는 공간이라고 할 수 있다. 하지만 우리가 이런 무한대의 공간의 깊이 값을 산..
Graphics/이론 2022. 11. 17. 16:54

원근 투영 변환 ( Perspective projection transformation )

투영 변환3D 투영은 2차원 표면에 3D개체를 표시하는데 사용되는 디자인 기술이다.즉, 우리 눈이 바라보는 방식으로 가상 공간을 변환하는 것이다.가상 공간에서 눈과 동일한 행동을 하는 물체는 카메라다. 즉 눈과 동일한 행동을 하려면, 멀리 있는것은 작게 가까이 있는 것은 크게 보이는 '원근감' 을 나타내줄 필요가 있는데이런 원근감을 나타내면서 투영하는 작업을 원근 투영 변환이라고 한다.그래서 원근 투영 변환을 설계하기 위해서는 눈에 보이는 범위를 카메라에도 설정해야하는데, 이를 화각 ( Field Of View ) 이라고 한다.카메라에 화각을 설정하면 아래의 그림과 같이 좌우와 위아래가 균등한 사각뿔 영역이 만들어 진다. 원근 투영 변환은 x, y, z축이 모두 직교하는 정육면체 형태..
Graphics/이론 2022. 11. 14. 16:15

뷰 변환 ( View Transformation, Camera Transformation )

뷰 공간 월드 공간은 굉장히 넓은 영역이다. 이 영역을 다 보여줄 순 없고, 플레이어가 특정 원하는 지점을 보여줘야 하는데 이러한 화면을 보여주기 위해 하나의 '가상 카메라' 가 있다고 생각하는 것이다. 화면에 대응하는 카메라를 만들고 이 카메라를 중심으로 화면이 보이도록 해야한다. 이를 위해서는 카메라를 중심으로 물체의 정보를 재조정하는 작업이 필요하는데, 카메라를 중심으로 변환한 공간을 뷰 공간 (View Space) 라고 한다. 사실 뷰 변환이라는건 별거 없다. 모든 정점을 '카메라 위치로 재변환' 하는것인데 이를 다르게 생각해보면 1. 카메라를 원점으로 보낸다 2. 원점으로 보낸 변환을 모든 오브젝트에 적용한다 -> 카메라는 원점에 있으며 모든 오브젝트는 카메라의 변환만큼 카메라와 동일하게 이동했..
Graphics/이론 2022. 11. 8. 14:27

오일러 변환 (Euler Transformation)

오일러 각 (Euler angle) 오일러 각은 3차원 공간에서 물체가 놓인 방향을 3개의 각을 사용해 표시하는 방법이다. 각 방향을 표시할때는 표준기저벡터를 사용한다. 그래서 오일러 각은 표준기저벡터를 중심으로 회전하는 각의 크기로 지정된다. 소프트웨어마다 x, y, z 축은 다르다. 예를 들어 언리얼 엔진에서의 x, y, z 축의 회전과 유니티 엔진에서의 x, y, z 축의 회전은 다르다. (언리얼엔진은 z-up 이고, 유니티는 y-up 이다.) 이렇기 때문에, 언리얼 엔진에서의 각 정보를 유니티 엔진으로 넘겨 사용할 수 없는데 이를 해결하기 위해 x, y, z 축 대신 회전의 움직임으로 회전 동작을 구분하고 각을 지정하는 방법을 사용한다. 표준기저벡터를 축으로 하는 회전의 움직임은 방향에 따라 ya..
Graphics/이론 2022. 10. 31. 20:51

월드 변환 ( World Transformation )

이 글을 읽는 사람이 기초 개념을 알고있다고 가정합니다. ( 선형성, 행렬 등 ) 월드 변환이란? 월드 변환은 모델의 로컬 원점을 기준으로 Vertex가 정의된 모델 공간에서 모든 개체에 공통된 원점을 기준으로 정의되는 World Space로 좌표를 변경하는 것이다. 월드 변환에는 좌표 이동, 회전 및 크기 조정이 포함될 수 있다. 월드 변환을 알기 전에 '좌표 이동', '회전', '크기' 조정에 대해 알아야 한다. 이동 변환 말 그대로 어떠한 Vertex를 특정 크기만큼 이동시키는 변환을 의미한다. 이동 변환을 수식으로 표현하면 다음과 같다. $$\begin{cases}x' = x + a\\y' = y + b\\z' = z + c \end{cases}$$ 이동 행렬은 다음과 같다. $$ \begin{b..
Graphics/이론 2022. 10. 23. 20:19